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三、向量线性运算的应用

=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，.

思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，

∴=+=b+a-b=a+b，

==.

∴=+=+=

=(+)=(a+b)=a+b.

=-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________.

答案：+

解析：∵=，

∴-=-，2=+.

∴=+.

2.如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=a，=b，用a，b表示.

解：∵CE=3EB，

∴=.

又∵=-，

∴=+=+

=a+(b-a)=a+b.

在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用.

.

1.下列计算正确的数目是(　　)

①(-3)·2a=-6a　②2(a+b)-(2b-a)=3a　③(a+2b)-(2b+a)=0

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：C

解析：①②正确，③错误，应有(a+2b)-(2b+a)=0.

2.化简为(　　)

A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b

答案：C

解析：原式=a+b+a-a+b=a+b.

3.下面向量a，b共线的有(　　)

①a=2e1，b=-2e2;

②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;

③a=4e1-e2，b=e1-e2;

④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共线)

A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

答案：A

解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线;

②中b=-2a，故a与b共线;

③中b=a，故a与b共线;

④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1+e2=λ(2e1-2e2)，于是λ无解.故a与b不可能共线.

4.已知平行四边形ABCD中，=a，=b，其对角线交点为O，则等于(　　)

A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b

答案：C

解析：+=+==2，所以=(a+b)，故选C.

5.已知向量a与b不共线，m=a-b，n=xa+3b，若m与n共线，则x的值等于__________.

答案：-6

解析：依题意存在实数λ，使m=λn，

即=λ(xa+3b)，

即于是λ=-，x=-6.

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