高三数学知识点：专题热点指导

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　　天津市第四十二中学 张鼎言
        　　6. 如图，已知点F(1，0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且-·■=-·■
        　　(1)求动点P的轨迹C的方程;
        　　(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知-=λ1-，-=λ2-，求λ1+λ2的值。
        　　解(1)P(x，y)，Q(-1，y)，F(1，0)
        　　-=(x+1，0)，-=(2，-y)
        　　-=(x-1，y)，-=(-2，y)
        　　由已知，得y2=4x
        　　抛物线焦点F(1，0)，准线l：x=-1
        　　解(2)lABy=k(x-1)，k存在
        　　-
        　　△=16+16k2>0
        　　y1+y2=-，y1y2=-4
        　　A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-1，-2k)
        　　-=λ1-→y1+2k=-λ1y1，λ1=--
        　　-=(x2+1，y2+2k)
        　　-=(1-x2，1-y2)
        　　→y2+2k=-λ2y2
        　　λ2=--
        　　λ1+λ2=----
        　　=-2-2k(-+-)
        　　=-2-2k·■=0
        　　注：本题的直线过抛物线焦点，但没有抛物线定义.把前5个题与本题比较，直线过焦点且出现距离问题时，前5个题引出的方法适用.
        　　(五)直线与圆锥曲线相交不过焦点
        　　复习导引：
        　　因直线不过焦点又与圆锥曲线相交，设直线方程一般不用两点式，否则会导致推导的复杂性。点在直线或曲线上，点的坐标满足方程看来熟知却容易忽略。
        　　1. 设椭圆-+-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为-|OF1|。
        　　(Ⅰ)证明a=-b;
        　　(Ⅱ)设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。
        　　(Ⅰ)-+-=1(a>b>0)
        　　A(c，y)
        　　-+-=1，|y|=-
        　　-=-
        　　→-=-
        　　-=-→2a2-b2=3b2，a2=2b2，∴a=-b
        　　(Ⅱ)由(Ⅰ)
        　　-
        　　-
        　　→(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-b2)=0
        　　△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-b2)>0
        　　2k2b2+b2>m2
        　　x1+x2=--，
        　　x1x2=-
        　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
        　　=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
        　　=---+m2
        　　=-
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