高三数学知识点：集合与映射专题复习指导

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　　天津市第四十二中学 张鼎言
        　　一、集合与简易逻辑
        　　复习导引：这部分高考(Q吧)题一般以选择题与填空题出现。多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。
        　　1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。则k的最大值是( )
        　　A.10 B. 11
        　　C. 12 D. 13
        　　分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决?我们不妨把抽象问题具体化!
        　　如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,Si是Sj符合题目要求的两个集合。若Sj={2，4}则与Si={2，4}按题目要求应是同一个集合。
        　　题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。M是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是C62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选B。
        　　注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。
        　　2.设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )
        　　(A)CIS1∩(S2∪S3)=
        　　(B)S1(CIS2∩CIS3)
        　　(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=
        　　(D)S1(CIS2∪CIS3)
        　　分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。我们在复习集合部分时,应让同学掌握如下的定律:
        　　摩根公式
        　　CIA∩CIB=CI(A∪B)
        　　CIA∪CIB=CI(A∩B)
        　　这样,选项C中:
        　　CIS1∩CIS2∩CIS3
        　　=CI(S1∪S2∪S3)
        　　由已知
        　　S1∪S2∪S3=I
        　　即CI(S1∪S2∪S3)=CI=
        　　而上面的定律并不是复习中硬加上的,这个定律是教材练习一道习题的引申。所以,高考复习源于教材,高于教材。

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        　　这道题的解决,也可用特殊值法,如可设S1={1，2}，S2={1，3}，S3={1，4}问题也不难解决。
        　　3.是正实数，设S={|f(x)=cos[(x+])是奇函数}，若对每个实数a，S∩(a，a+1)的元素不超过2个，且有a使S∩(a，a+1)含2个元素，则的取值范围是 。
        　　解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函数,可得cosx·cos=0,cosx不恒为0，
        　　∴cos=0,=k+-，k∈Z
        　　又>0，∴=-(k+-)
        　　(a，a+1)的区间长度为1,在此区间内有且仅有两个角, 两个角之差为:-(k1+k2)
        　　不妨设k≥0，k∈Z：
        　　两个相邻角之差为-。
        　　若在区间(a，a+1)内仅有二角,那么-≥1，≤2，∴
        　　注：这是集合与三角函数综合题。
        　　4.设集合A={(x,y)|y≥-|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠，
        　　(1)b的取值范围是 ;
        　　(2)若(x，y)∈A∩B且x+2y的最大值为9，则b的值是 。
        　　解：用图形分别表示集合A、B。
        　　-
        　　-
        　　-
        　　B:y≤-|x|+b
        　　从观察图形，易知
        　　b≥1,A∩B≠;
        　　(2)直线l方程为x+2y-2=0
        　　直线x+2y=9平行于l，
        　　其截距为-
        　　∴b=-
        　　5.集合A={x|-
                　　A.-2≤b
       
                　　C.-3
       
       
                　　分析A={x|-1
       
       
                　　A、B区间长度均为2。
       
       
                　　我们从反面考虑，若A∩B≠
       
       
                　　此时，b+1≤-1或b-1≥1
       
       
                　　即b≤-2或b≥2。
       
       
                　　b≤-2或b≥2为b不能取值的范围，所以应排除A、B、C,选D。
       
       
                　　注：本题是以集合为基础的充要条件，其难点并不是充要条件，而是对参数b的处理。本题的解法意在从A∩B≠出发,类似于不等量关系，考虑等量关系使问题简化，再用排除法。
       
       
                　　6.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数个数共有
       
       
                　　(A)1个 (B)4个
       
       
                　　(C)8个 (D)10个
       
       
                　　解：根据对应关系定义,从象的个数出发去思考。
       
       
                　　(1)函数集合有一个象,如象为1,
       
       
                　　这时f(x)=1,x=1,2,3
       
       
                　　f[f(x)]=f(1)=1=f(x)
       
       
                　　写成对应形式{1,2,3}f {1}
       
       
                　　若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}
       
       
                　　同理{1,2,3}f {3}
       
       
                　　以上共有3个函数。
       
       
                　　(2)函数集合有2个元素
       
       
                　　如函数集合为{1,2}
       
       
                　　有{1,3}f {1},{2}f {2}
       
       
                　　这时f(1)=1,f[f(1)]=f(1)
       
       
                　　f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)
       
       
                　　f(2)=1,f[f(2)]=f(2)
       
       
                　　有两个函数。
       
       
                　　同理 函数集合为{1,3},{2,3}各有2个函数
       
       
                　　综上有6个函数
       
       
                　　(3)函数集合有三个元素{1,2,3}
       
       
                　　只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3
       
       
                　　∴有一个函数,f(x)=x
       
       
                　　∴综上(1)、(2)、(3)共有10个函数,故选D。
       
       
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