08高考数学复习：三角函数专题热点复习指导

高考网

　　天津市第四十二中学张鼎言
　　已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx
　　(Ⅰ)求f(-)的值；
　　(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。
　　解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--
　　=sin(2x+-)--
　　f(-)=sin---=0
　　解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--
　　=---，
　　∴sin(α+-)=-
　　-sinα+-cosα=-
　　sinα+-cosα=-
　　-cosα=--sinα
　　两边平方整理关于sinα的二次方程：
　　16sin2α-4sinα-11=0
　　∵α∈(0，π)
　　∴sinα=-
　　注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。
　　(二)三角函数的图象与性质
　　复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。
　　1.设函数f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。
　　(Ⅰ)求ω的值；
　　(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。
　　解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α
　　=--+-sin2ωx+α
　　=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-
　　=sin(2ωx+-)+α+-
　　2ω·■+-=-，ω=-
　　(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-
　　--≤x≤-
　　0≤x+-≤-
　　fmin(x)=f(-)=--+α+-=-
　　∴α=-+-
　　2.如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。
　　(Ⅰ)求φ的值；
　　(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。
　　解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-
　　0≤φ≤-∴φ=-
　　(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)
　　∵P为最高点
　　∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)
　　f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-
　　cos2α=-=-
　　∴-与-的夹角是arccos-
　　3.已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A>0，ω>0，0
　　(1)求φ；
　　(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。
　　解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)
　　fmax(x)=--(--)=2∴A=2
　　由已知，T=4=-，ω=-
　　f(x)=1-cos(-x+2φ)
　　f(1)=1-cos(-+2φ)=2
　　∴sin2φ=10
　　∴φ=-
　　∴f(x)=sin(-x)+1
　　(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2
　　f(2)=sinπ+1=1
　　f(3)=sin-+1=0
　　f(4)=sin2π+1=1
　　又f(n)是以4为周期的函数
　　-=502
　　∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008
　　4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π
　　(Ⅰ)求φ；
　　(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间；
　　(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。
　　解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴，
　　∴sin(2×■+φ)=±1.
　　∴sin(-+φ)=±1，-π
　　∴-+φ=--，φ=--
　　∴f(x)=sin(2x--)
　　解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间
　　2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z
　　kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z
　　证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-
　　f(x)=sin(2x--)
　　k'=f'(x)=2cos(2x--)
　　|k'|≤2
　　∵k≠|k'|∴不能相切
　　注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。