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2008年高考数学复习:解析几何专题热点指导

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论坛元老

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发表于 2016-6-27 12:22:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
  如右图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为x=12。
  (Ⅰ)求椭圆的方程;
  (Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P1、P2、P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明:-+-+-为定值,并求此定值。
  解:(1)-=12,c=3,a2=36,b2=27,
  ∴-+-=1
  分析:(2)本问给出的是“角”,这就需要“转化”,用“角”的三角函数表示距离。
  设|FP1|与x轴正方向夹角为α,0α
  P1到l的距离应为:
  --c-|FP1|cosα
  ∴由椭圆第二定义
  |FP1|=e(--c-|FP1|cosα)
  这里e=-·|FP1|
  =-(9-|FP1|cosα)
  ∴-=-(2+cosα)
  同理-=-[2+cos(α+-)]
  -=-[2+cos(α+-)]
  ∴-+-+-=-[6+cosα+cos(α+-)+cos(α+-)]
  而cosα+cos(α+-)+cos(α+-)=0
  ∴-+-+-=-
  注:本题(2)是在椭圆第二定义基础上的变化,这种变化是以直角三角函数的综合来呈现,但问题的关键是推导目标需要求出|FPi|,i=1,2,3。
  3. 已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且-=λ-(λ>0)。过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。
  (Ⅰ)证明-·■为定值;
  (Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值。
  解:(Ⅰ)由已知条件,得F(0,1),λ>0。
  设A(x1,-x12),B(x2,-x22)。由-=λ-,λ>0。
  -
  -
  -
  过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
  -
  解出交点M的坐标为(-,-),M(-,-1)
  -·■=-(x22-x12)-2(-x22--x12)=0
  所以-·■为定值,其值为0,|-|⊥|-|。
  (Ⅱ)由抛物线的定义:
  |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+-+2=(-+-)2
  |FM|⊥|AB|,S=-|AB||FM|.
  |FM|=-
  =-
  =-
  =-
  =-+-
  S=-|AB||FM|=-(-+-)34,
  当且仅当-=-,λ=1时,S取得最小值4。
  4. 已知椭圆C1:-+-=1,抛物线C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1,C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。
  (Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m,p的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
  (Ⅱ)是否存在m,p的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的m,p的值;若不存在,请说明理由。
  解:(Ⅰ)C1的右焦点F2(1,0),当AB⊥x轴时,
  由C1方程A(1,-),又A、B关于x轴对称,
  所以m=0,A(1,-)在C2上,可知C2的焦点(-,0)不在直线AB上。
  (Ⅱ)解法一:LAB -=k
  设A(x1,y1)、B(x2,y2)在C1上,
  由-
  (1)-(2):-+-k=0 (A)
  上面的方法给我们一个重要的启示,LAB与C1相交时不是用联立方程组化为一元二次方程,求出△,x1+x2,x1x2等过渡量。理由是后面的推导不需要x1x2。
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