高中数学知识点：空间点、直线、平面之间的位置关系

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　　一. 本周教学内容：空间点、直线、平面之间的位置关系
　　二. 重点：
　　1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内。
　　2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
　　3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
　　4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
　　5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面
　　6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行
　　7. 平面与平面的位置关系：相交、平行
　　【典型例题
　　[例1] 下列结论中正确的有个
　　（1）过空间三点的平面有且只有一个
　　（2）过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个
　　（3）过空间两条相交直线的平面有且只有一个
　　（4）过空间两条平行直线的平面有且只有一个
　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　答案：C
　　解析：（2）（3）（4）正确。
　　[例2]（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？
　　（2）空间四条平行直线可确定几个平面？
　　（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？
　　答案：
　　（1）1个或3个
　　（2）1个，4个或6个
　　（3）1个，3个或4个
　　[例3]　 外三边所在直线分别交平面 #FormatImgID_0#
　　

　　∴　 中E、F为AA1、CC1中点，求证： #FormatImgID_2#
　　证明：延长　交AD于M，延长　交DC于N
　　E为A1A中点 ∴ MA=AD
　　同理CN=CD
　　

　　∴ M、N、B三点共线
　　∴
　　[例5] 空间不共点的四条直线两两相交，求证四线共面。
　　证明：
　　（1）有三线共点，如图
　　A、B、D确定平面　同理
　　（2）无三点共线，如图
　　A、D、F三点确定平面 #FormatImgID_4#
　　证明：D为　上一点
　　，
　　确定平面　同理A、C、D #FormatImgID_5#
　　互相平分 MN过EF中点
　　∴ EF、GH、MN交于一点且互相平分
　　

　　[例8] 正方体　成异面关系的棱有 条；
　　（3）与BD成异面关系的棱有 条；
　　（4）12条棱中异面直线有 对。
　　

　　解：（1）4条 （2）6条 （3）6条 （4）24对
　　[例9] 空间四边形ABCD（A、B、C、D不共面）E、M为AD的三分点，F、N为BC的三分点，由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。
　　

　　答案：六对，任意两条均异面
　　证明：EF、MN异面（反证法）
　　假设EF、MN共面 #FormatImgID_9#
　　∴ A、B、C、D　与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立
　　∴ EF、MN为异面直线
　　[例10] 正方体 #FormatImgID_10#
　　解：
　　（1）
　　∵ 正　∴　 异面，　B.　 D. 2MN与AC BD无法比较
　　3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。
　　4.　 ，则　，求证　所在平面外一点，　，D、E、F依次为　、　的重心，求　的面积。
　　【试题答案】
　　1. 平行或相交或异面
　　2. B
　　3. 相交或异面
　　4. 平行或相交或异面
　　5. ∵　∴　 没有公共点 ∵　 ∴　 与　无公共点
　　6. 连PD延长交AB于M，连PE延长交BC于N，连结MN