函数的单调性与最值但因为测试题
2013年高考数学总复习2-2 函数的单调性与最值但因为测试 新人教B 版
1.(文)(2011•大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( )
A.y=log0.5(1-x) B.y=x0.5
C.y=0.51-x D.y=12(1-x2)
[答案] D
[解析] ∵u=1 -x在(0,1)上为减函数，且u>0，∴y=log0.5(1-x)为增函数，y=0.51-x为增函数;又0.5>0，
∴幂函数y=x0.5在(0,1)上为增函数;二次函数y=12(1-x2)开口向下，对称轴x=0，故在(0,1)上为减函数.
(理)(2011•广州模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(-∞，0)，当x1A.f(x)=-x+1 B.f(x)=x2-1
C.f(x)=2x D.f(x)=ln(-x)
[答案] C
[解析] f(x)=-x+1为减函数，f(x)=x2-1在(-∞，1)上为减函数;f(x)=2x为增函数，f(x)=ln(-x)为减函数，由条件知f(x)在(-∞，0)上为增函数，故排除A、B、D选C.
2.(2011•湖北理，2)已知U={y|y=log2x，x>1}，P={y|y=1x，x>2}，则∁UP=( )
A.[12，+∞) B.(0，12)
C.(0，+∞) D.(-∞，0]∪[12，+∞)
[答案] A
[解析] ∵U={y|y=log2x，x>1}=(0，+∞)，
P={y|y=1x，x>2}=(0，12)，
∴∁UP=[12，+∞).
3.(文)(2011•上海文，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x2 D.y=x13
[答案] A
[解析] y=x-1是奇函数，y=x2在(0，+∞)上单调递增，y=x13 是奇函数.
(理)(2011•课标全国文，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)单调递增的函数是( )
A.y=x3 B.y=|x|+ 1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
[答案] B
[解析] A项中y=x3是奇函数而不是偶函数，C项中y=-x2+1是偶函数，但在(0，+∞)单调递减，D项中y=2-|x|是偶函数但在(0，+∞)上单调递减.
4.(2011•江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a=log13 2，b=log12 13，c=120.3，则( )
A.a
C.b
[答案] B
[解析] ∵log13 2∵log12 13>log12 12=1，∴b>1;
∵120.3a，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，-3) B.(-∞，-1)
C.(1，+∞) D.(0,1)
[答案] B
[解析] f(a)>a化为a≥023a-1>a或aa，
∴a
(理)(2011•衡水模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调增加，则满足f(2x-1)A.(13，23) B.[13，23)
C.(12，23) D.[12，23)
[答案] A
[解析] 当2x-1≥0，即x≥12时，
由于函数f(x)在区间[0，+∞)上单调增加，
则由f(2x-1)即x
当2x-1
由于函数f(x)是偶函数，
故f(2x-1)=f(1-2x)，此时1-2x>0，
由f(2x-1)即x>13，故13综上可知x的取值范围是(13，23).
[点评] (1)由于f(x)为偶函数，∴f(2x-1)(2)可借助图形分析
作出示意图可知：
f(2x-1)即136.(2011•青岛模拟)已知函数f(x)=ax+logax(a>0且a≠1)在上的最大值与最小值之和为loga2+6，则 a的值为( )
A.12 B.14
C.2 D.4
[答案] C
[解析] f(x)在上是单调函数，由题意知，a+a2+loga2=loga2+6，∴a2+a-6=0，∵a>0，∴a=2.
7.(文)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
[答案] [-14，0]
[解析] (1)当a=0时，f(x)=2x-3，在定义域R上单调递增，故在(-∞，4)上单调递增;
(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x=-1a，因为f(x)在(-∞，4)上单调递增，所以a
(理)若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间上都是减函数，则a的取值范围是________.
[答案] (0,1]
[解析] 由f(x)=-x2+2ax得函数对称轴为x=a，
又在区间上是减函数，所以a≤1，
又g(x)=ax+1在上减函数，所 以a>0，
综上a的取值范围为(0,1].
8.(文)f(x)=xlnx的单调递减区间是________.
[答案] 0，1e
[解析] f ′(x)=lnx+1，令f ′(x)
∴0(理)若函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________.
[答案] a≤-4
[解析] ∵函数f(x)=x2+2x+alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f ′(x)=2x+2+ax=2x2+2x+ax≤0，∴g(x)=2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)时恒成立，
∵g(x)的对称轴x=-12，x∈(0,1)，
∴g(1)≤0，即a≤-4.
9.(2011•江苏)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
[答案] (-12，+∞)
[解析] ∵2x+1>0，∴x>-12.
所求单调增区间为(-12，+∞).
10.(文)已知f(x)=xx-a(x≠a).
(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减， 求a的取值范围.
[解析] (1)证明：设x1则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2
=2x1-x2x1+2x2+2.
∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2
∴f(x1)∴f(x)在(-∞，-2)内单调递增.
(2)解：设1f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a
=ax2-x1x1-ax2-a.
∵a>0，x2-x1>0，
∴要使f(x1)-f(x2)>0，只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知0 [点评] 第(2)问中，由f(x)单调递减知x10恒成立，从而(x1-a)(x2-a)>0恒成立，由于a>0，x1>1，x2>1，故只有当0(理)已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)
[解析] (1)证明：任取x1、x2∈R且x1∴x2-x1>0.
∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2)=f
=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1)，
∴f(x)是R上的增函数.
(2)解：f(4)=f(2)+f(2)-1=5，
∴f(2)=3.
∴f(3m2-m-2)
∴3m2-m-2
11.(文)(2011•平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有fx2-fx1x2-x1
A.f(3)C.f(-2)[答案] A
[解析] 由题意f(x)在[0，+∞)上为减函数，
∴f(3)又f(x)为偶函数，∴f(-2)=f(2)，故选A.
(理)(2011•山东聊城一中期末)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3x-1，则有( )
A.f13B.f23C.f23D.f32[答案] B
[解析] ∵f(x)的图象关于直线x=1对称，x≥1时，f(x)=3x-1为增函数，故当xf12>f23，即f2312.(2011•西安模拟)设函数f(x)=1，x>00，x=0，-1，x
A.(0,1) B.(1，+∞)
C.(-∞，0) D.(0，+∞)
[答案] A
[解析] 依题意得，g(x)=x2f(x-1)=x2，x>10，x=1-x2，x
所以g(x)的递减区间为(0,1).
13.(文)(2011•抚顺模拟)已知f(x)=ax x>14-a2x+2 x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，+∞) B.[4,8)
C.(4,8) D.(1,8)
[答案] B
[解析] 由y=ax(x>1)单调增知a>1;
由y=(4-a2)x+2(x≤1)单调增知，4-a2>0，∴a
又f(x)在R上单调增，∴a≥(4-a2)+2，
∴a≥4，综上知，4≤a
[点评] 可用筛选法求解，a=2时，有f(1)=4=f(2)，排除A、D.a=4时，f(x)=4x x>12x+2 x≤1，在R上 单调递增，排除C，故选B.
(理)(2011•北京学普教育中心)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.[1，+∞) B.[1，32)
C.[1,2) D.[32，2)
[答案] B
[解析] 因为f(x)定义域为(0，+∞)，f ′(x)=4x-1x，由f ′(x)=0，得x=12.
据题意，k-1
14.(2011•天津四校联考)已知函数f(x)=x2+ax-1在区间上有最小值-2，则实数a的值为________.
[答案] -2
[解析] 当-a2≤0，即a≥0时，函数f(x)在上为增函数，
此时，f(x)min=f(0)=-1，不符合题意，舍去;
当-a2≥3，即a≤-6时，函数f(x)在上为减函数，
此时，f(x)min=f(3)=-2，可得a=-103，这与a≤-6矛盾;
当00且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围.
[解析] (1)要使f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义，则
x+1>01-x>0，解得-1故所求定义域为{x|-1(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|-1且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-=-f(x)，故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|-1所以f(x)>0⇔x+11-x>1.
解得0所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|0(理)设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为实数，且a≠0)，F(x)=fx x>0-fx x
(1)若f(-1)=0，曲线y=f(x)通过点(0,2a+3)，且在点(-1，f(-1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达 式;
(2)在(1)的条件下，当x∈[-1,1]时，g(x)=kx-f(x)是单调函数，求实数k的取值范围;
(3)设mn0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)+F(n)>0.
[解析] (1)因为f(x)=ax2+bx+c，所以f ′(x)=2ax+b.
又曲线y=f(x)在点(-1，f(-1))处的切线垂直于y轴，故f ′(-1)=0，
即-2a+b=0，因此b=2a.①
因为f(-1)=0，所以b=a+c.②
又因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3)，
所以c=2a+3.③
解由①，②，③组成的方程组得，a=-3，b=-6，c=-3.
从而f(x)=-3x2-6x-3.
所以F(x)=-3x+12 x>03x+12 x
(2)由(1)知f(x)=-3x2-6x-3，
所以g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3.
由g(x)在[-1,1]上是单调函数知：
-k+66≤-1或-k+66≥1，
得k≤-12或k≥0.
(3)因为f(x)是偶函数，可知b=0.
因此f(x)=ax2+c.
又因为mn0，
可知m，n异号.
若m>0，则n
则F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c
=a(m+n)(m-n)>0.
若m0.
同理可得F(m)+F(n)>0.
综上可知F(m)+F(n)>0.
*16.已知f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，a∈R.
(1)若a=1，求f(x)的极小值;
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3.
[解析] (1)∵f(x)=x-lnx，f ′(x)=1-1x=x-1x，
∴当0当10，此时f(x)单调递增.
∴f(x)的极小值为f(1)=1.
(2)假设存在实数a，使f(x)=ax-lnx，x∈有最小值3，f ′(x)=a-1x=ax-1x，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，f(x)min=f(e)=ae-1=3，a=4e(舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3;
②当0
综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值为3.
1.(2011•上海理，16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=ln1|x| B.y=x3
C.y=2|x| D.y=cosx
[答案] A
[解析] 排除法：B、C在(0，+ ∞)上单调递增，D在(0，+∞)上不单调，故选A.
2.函数f(x)=x-3x+a-2在(-1，+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.(-∞，1) B.(1，+∞)
C.(-∞，3) D.(3，+∞)
[答案] D
[解析] f(x)在(-a+2，+∞)上是增函数，由条件知-a+23.
3.若f(x)=x3-6ax的单调递减区间是(-2,2)，则a的取值范围是( )
A.(-∞，0] B.[-2,2]
C.{2} D.[2，+∞)
[答案] C
[解析] f ′(x)=3x2-6a，
若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A;
若a>0，则由f ′(x)=0 得x=±2a，当x2a时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当-2a∴f(x)的单调减区间为(-2a，2a)，从而2a=2，
∴a=2.
[点评] f(x)的单调递减区间是(-2,2)和f(x)在(-2，2)上单调递减是不同的，应加以区 分.
4.(2010•海南华侨中学期末)函数f(x)=ln(x+1)-mx在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m的取值范围是( )
A.(-∞，1) B.(-∞，1]
C.(-∞，12] D.(-∞，12)
[答案] C
[解析] ∵f(x)=ln(x+1)-mx在区间(0,1)上恒为增函数，
∴f(x)=ln(x+1)-mx在区间上恒为增函数，
∴f ′(x)=1x+1-m≥0在上恒成立，
∴m≤(1x+1)min=12.
5.定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上是增 函数，若f(13)=0，
则适合不等式f(log127 x)>0的x的取值范围是( )
A.(3，+∞) B.(0，13)
C.(0，+∞) D.(0，13)∪(3，+∞)
[答案] D
[解析] ∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，且f(13)=0，则由f(log127 x)>0，得|log127 x|>13，即log127 x>13或log127 x
6.(2010•南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x=0和x=1，且在x∈[-1,0]上f(x)单调递增，设a=f(3)，b=f(2)，c=f(2)，则a、b、c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
[答案] D
[解析] ∵f(x)在[-1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x=0对称，
∴f(x)在上单调减;又f(x)的图象关于直线x=1对称，
∴f(x)在上单调增，在上单调减.
由对称性f(3)=f(-1)=f(1)即a7.(2011•四川一模)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a;当aA.-1 B.1
C.6 D.12
[答案] C
[解析] 由⊕的定义知1⊕x=1， -2≤x≤1x2 1∴f(x)=x-2 -2≤x≤1x3-2 1显然f(x)在[-2,2]上为增函数，
∴f(x)max=f(2)=23-2=6.
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