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发表于 2017-8-23 19:44:04 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    在很多文章里,吴老师经常强调数学思想方法的重要性。数学学习,学好数学,我们要掌握的不仅仅是一些知识点、公式、定理等等,更要学会运用知识去解决问题,深刻理解数学思想方法,从问题本质上看到数学思想方法的运用等等。数学思想方法是数学知识中奠基性成分,是学生获得数学能力必不可少的成分。
    数学思想方法是数学的精髓和灵魂,若把思想方法从数学当中脱离出来,那么数学就失去美,失去哲学,失去它的伟大等等。数学思想方法是人们对数学知识的本质认识,是对数学规律的理性认识。
    数学思想方法广泛存在于数学的概念、方法和过程之中,具有奠基性、总结性和广泛性的特征。
    从数学和思想的含义去理解,所谓数学思想方法,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。
    数学思想方法是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识,而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。因此,高考作为选拔人才的考试,自然会加强对数学思想方法的考查,突出大家运用数学思想方法解决问题能力的考查等等。
    中学数学中蕴含的数学思想方法很多,如常见的有:转化的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法、归纳总结思想方法等等。
    归纳思想方法是高中数学解题过程中经常运用到的一种科学的证明方法,对于数学思维的培养也非常重要,解决问题具有实效快速等优点。一般地,数学归纳法有两个步骤:
    1、证明当n取第1个值时,命题成立。
    2、逻辑推理过程
    假设n=k成立,作为可以运用的条件,再结合n=k+1时的情况,利用已知条件和假设条件,通过相关的定理、公理等加以证明,从而推导出n=k+1时结论也成立。
    以上是第一归纳法的证明步骤,还有第二数学归纳法、倒推归纳法等。
    数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可。第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在n=k+1时一定要运用它,否则就不是数学归纳法。第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”。
    典型例题分析1:

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    在用数学归纳法证明问题的过程中,要注意从k到k+1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误。
    直白来说,对于数学归纳法,一般地证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
    (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
    (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
    只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
    我们运用“归纳——猜想——证明”的模式解决问题,一定要认识到是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式。其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明。这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用。其关键是归纳、猜想出公式。
    如要弄清楚运用数学归纳法证明等式的规则:
    1、数学归纳法证明等式要充分利用定义,其中两个步骤缺一不可,缺第一步,则失去了递推基础,缺第二步,则失去了递推依据。
    2、证明等式时要注意等式两边的构成规律,两边各有多少项,并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设,不利用n=k时的假设去证明,就不是数学归纳法。
    典型例题分析2:

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    这是一道运用归纳数学思想方法解决不等式问题,不等关系和等量关系是数学当中非常重要两种数量关系。我们在运用归纳数学思想方法解决不等式相关问题时候,应注意以下两个方面的问题:
    1、当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法。
    2、用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明。
    典型例题分析3:
    用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被a2+a+1整除.
    证明: (1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.
    (2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时,
    ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,
    则当n=k+1时,
    ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1
    =a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1
    =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1
    由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,
    (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除,
    ∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除,
    即n=k+1时命题也成立,
    由(1)(2)知,对任意n∈N*原命题成立.
    比起具体的数学知识,数学思想方法具有更高的概括抽象水平,更本质、更深刻。数学思想方法是数学的精神实质与理论基础,我们一定要认真消化和理解。
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