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微积分是很多人最熟悉的一块数学内容之一，它作为高等数学的重要组成部分，不仅影响着数学的发展，更影响着其他学科领域的发展，因此，如何学好微积分是很多人非常关心的话题。
如果一个人要想学好微积分，那么他/她必须首先要学好导数。导数是微积分中微分学的主要构成，更是微积分的核心内容。
导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数，我们可以求出在实际生活中的一些最值(最大值和最小值)问题，如利润最大、生产效率最高、用料最少、耗油量最少等等问题，我们把这些解决最值问题一般称为最佳方案或最佳策略，俗称最优化问题。
运用导数相关知识内容去解决实际生活中的最优问题，让我们的生活达到最佳状态，就是真正去解决我们实际生活当中的问题。
导数的概念导数是微积分中重要的基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限就是导数。
利用导数解决生活中的优化问题的一般可以分为以下三个步骤：
1、分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y=f(x);
2、求出函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)=0;
3、比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值。
典型例题分析1：
某物流公司购买了一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，顶点B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米.
(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x的取值范围;
(2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长方体建筑，问AB的长度为多少时仓库的库容量最大.(墙地及楼板所占空间忽略不计)
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解：(1)依题意得△NDC与△NAM相似，
所以DC/AM=ND/NA，
即x/30=(20-AD)/20，
故AD=20-2/3x，
矩形ABCD的面积为20x-2/3x2(0
要使仓库的占地面积不少于144平方米，
则20x-2/3x2≥144，
化简得x2-30x+216≤0，
解得12≤x≤18.
(1)由(1)知仓库的体积V=20x2-2/3x3(0
令V′=40x-2x2=0，
得x=0或x=20.
当00，
当20
所以当x=20时V取最大值，且最大值为8000/3，
即AB的长度为20米时仓库的库存容量最大.
运用导数相关知识内容来解决实际生活问题，难点就在于如何把实际问题中所涉及到的变量转化成函数关系式。这种“转化能力”需要大家在掌握好导数相关知识内容前提下，多加进行针对性训练，在解题训练过程汇总，提高导数解题技巧与方法。如学会根据题目条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系。
在高中数学范围内，我们说运用导数去解决实际问题，一般是求解最优化问题。高考作为一种选拔人才的考试，单单从知识层面上来说就不会太过于狭窄，高考导数优化类问题会结合社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中的热点问题。
同时社会经济发展，企业为了追求最大利益化，加上全社会环保意识不断增强。因此，如何使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，又不破坏自然社会环境等等，寻求相应的最佳方案或最佳策略，就成了社会发展的大事情。
导数因其知识“特殊性”，就成了解决最优问题的基本方法之一。
典型例题分析2：
某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.
解：(1)设585/8-u与(x-21/4)⊃2;，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴585/8-28=k(x-21/4)⊃2;，
解得k=2.
∴u=-2(x-21/4)⊃2;+585/8
=-2x2+21x+18.
∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)
=-2x3+33x2-108x-108(6
(2)y′=-6x2+66x-108
=-6(x2-11x+18)
=-6(x-2)(x-9).
令y′=0，得x=2(舍去)或x=9，
显然，当x∈(6,9)时，y′>0;
当x∈(9,11)时，y′
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求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.
解：①当6≤t0，
当8
故t=8时，y有最大值，ymax=18.75.
②当9≤t≤10时，y=1/8t+59/4是增函数，
故t=10时，ymax=16.
③当10
故t=11时，ymax=18.
综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点.
如果我们想要在高考中拿到导数相关的分数，那么首先就要好好掌握导数的相关基础概念，这样你才能运用这些知识去解决实际生活中的最优化问题。
如要掌握好导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);
掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;
理解导函数的概念;
熟记基本导数公式;
掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数;
理解可导函数的单调性与其导数的关系;
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);
会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等等。
最后大家要记住，我们利用导数去解决实际问题中的优化问题，一定要认真记住这么几点：
1、在解决实际问题的最值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应该舍去。
2、在实际生活问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大值(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值。
3、在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系是用函数关系式表示，还应该确定出函数关系式中自变量的定义区间。 |
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发表于 2017-9-4 20:24:50