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一个合格的经济学家,首先他的高考数学成绩要过关

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发表于 2017-9-4 20:24:50 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    微积分是很多人最熟悉的一块数学内容之一,它作为高等数学的重要组成部分,不仅影响着数学的发展,更影响着其他学科领域的发展,因此,如何学好微积分是很多人非常关心的话题。
    如果一个人要想学好微积分,那么他/她必须首先要学好导数。导数是微积分中微分学的主要构成,更是微积分的核心内容。
    导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数,我们可以求出在实际生活中的一些最值(最大值和最小值)问题,如利润最大、生产效率最高、用料最少、耗油量最少等等问题,我们把这些解决最值问题一般称为最佳方案或最佳策略,俗称最优化问题。
    运用导数相关知识内容去解决实际生活中的最优问题,让我们的生活达到最佳状态,就是真正去解决我们实际生活当中的问题。
    导数的概念导数是微积分中重要的基础概念,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限就是导数。
    利用导数解决生活中的优化问题的一般可以分为以下三个步骤:
    1、分析实际问题中各个量之间的关系,建立数学模型,写出函数关系式y=f(x);
    2、求出函数的导函数f′(x),解方程f′(x)=0;
    3、比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值。
    典型例题分析1:
    某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,顶点B、D分别在边AM、AN上,假设AB的长度为x米.
    (1)要使仓库的占地面积不少于144平方米,求x的取值范围;
    (2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长方体建筑,问AB的长度为多少时仓库的库容量最大.(墙地及楼板所占空间忽略不计)

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    解:(1)依题意得△NDC与△NAM相似,
    所以DC/AM=ND/NA,
    即x/30=(20-AD)/20,
    故AD=20-2/3x,
    矩形ABCD的面积为20x-2/3x2(0
    要使仓库的占地面积不少于144平方米,
    则20x-2/3x2≥144,
    化简得x2-30x+216≤0,
    解得12≤x≤18.
    (1)由(1)知仓库的体积V=20x2-2/3x3(0
    令V′=40x-2x2=0,
    得x=0或x=20.
    当00,
    当20
    所以当x=20时V取最大值,且最大值为8000/3,
    即AB的长度为20米时仓库的库存容量最大.
    运用导数相关知识内容来解决实际生活问题,难点就在于如何把实际问题中所涉及到的变量转化成函数关系式。这种“转化能力”需要大家在掌握好导数相关知识内容前提下,多加进行针对性训练,在解题训练过程汇总,提高导数解题技巧与方法。如学会根据题目条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系。
    在高中数学范围内,我们说运用导数去解决实际问题,一般是求解最优化问题。高考作为一种选拔人才的考试,单单从知识层面上来说就不会太过于狭窄,高考导数优化类问题会结合社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中的热点问题。
    同时社会经济发展,企业为了追求最大利益化,加上全社会环保意识不断增强。因此,如何使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,又不破坏自然社会环境等等,寻求相应的最佳方案或最佳策略,就成了社会发展的大事情。
    导数因其知识“特殊性”,就成了解决最优问题的基本方法之一。
    典型例题分析2:
    某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6
    (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;
    (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.
    解:(1)设585/8-u与(x-21/4)⊃2;,
    ∵售价为10元时,年销量为28万件,
    ∴585/8-28=k(x-21/4)⊃2;,
    解得k=2.
    ∴u=-2(x-21/4)⊃2;+585/8
    =-2x2+21x+18.
    ∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)
    =-2x3+33x2-108x-108(6
    (2)y′=-6x2+66x-108
    =-6(x2-11x+18)
    =-6(x-2)(x-9).
    令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,
    显然,当x∈(6,9)时,y′>0;
    当x∈(9,11)时,y′

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    求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻.
    解:①当6≤t0,
    当8
    故t=8时,y有最大值,ymax=18.75.
    ②当9≤t≤10时,y=1/8t+59/4是增函数,
    故t=10时,ymax=16.
    ③当10
    故t=11时,ymax=18.
    综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午8点.
    如果我们想要在高考中拿到导数相关的分数,那么首先就要好好掌握导数的相关基础概念,这样你才能运用这些知识去解决实际生活中的最优化问题。
    如要掌握好导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);
    掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;
    理解导函数的概念;
    熟记基本导数公式;
    掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
    了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数;
    理解可导函数的单调性与其导数的关系;
    了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);
    会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等等。
    最后大家要记住,我们利用导数去解决实际问题中的优化问题,一定要认真记住这么几点:
    1、在解决实际问题的最值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应该舍去。
    2、在实际生活问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这点有极大值(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值。
    3、在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系是用函数关系式表示,还应该确定出函数关系式中自变量的定义区间。
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