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函数可以说是高考数学的重中之重，几乎是每年高考数学必考热点之一。
这是为什么呢?从函数的定义我们可以看出一些端倪，传统函数定义：
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。
x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域 。
现代数学函数的定义：
给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f(A)，得到另一数集B，也就是B=f(A)。那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
从这里我们可以看出，函数具有逻辑性强、系统性强、非常抽象等鲜明数学特点，同时解决函数类问题我们还要借助图象等手段，这就说明跟函数相关的问题，都蕴含包括数形结合在内等丰富的数学思想方法。
因此，函数类问题因其具有这些特殊性，在平时数学学习过程中能很好培养一个人的思维能力，在考试当中更加能考查一个人运用知识解决问题能力水平的高低，自然就成为高考数学的热门考点。
幂函数是高中函数中一种重要函数，也是5类基本初等函数之一，今天我们就来讲讲与幂函数相关的高考数学问题。
一般地.形如y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。如函数y=x0、y=x1、y=x⊃2;、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。
幂函数是形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数 。
大家一定要记住一些常用幂函数的图象与性质，如下表：
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典型例题分析1：
已知二次函数f(x)有两个零点0和-2，且它有最小值-1.
(1)求f(x)解析式;
(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式.
解：(1)由于f(x)有两个零点0和-2，
所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0)，
这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a，
由于f(x)有最小值-1，
所以必有a>0且-a=-1
解得a=1.
因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.
(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，
它关于原点对称的点P′(-x，-y)必在f(x)图象上，
所以-y=(-x)2+2(-x)，
即-y=x2-2x，
y=-x2+2x，
故g(x)=-x2+2x.
同时，要牢记以下幂函数图象的三个特点：
1、幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性;
2、幂函数的图象最多只能经过两个象限内;
3、如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
典型例题2：
设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x>2时，y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)，
且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞，-2)上的解析式;
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;
(3)写出函数f(x)的值域.
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解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为
y=a(x-3)2+4，将(2,2)代入可得a=-2，
则y=-2(x-3)2+4，
即x>2时，f(x)=-2x2+12x-14.
当x2.
又f(x)为偶函数，f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14，
即f(x)=-2x2-12x-14.
所以函数f(x)在(-∞，-2)上的解析式为
f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数f(x)的图象如图，
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(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(-∞，4].
解决任何函数问题，我们都需要借助函数的图象与性质，如幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
1、α的正负：
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;
α1时，曲线下凸;
00⇒b4.
故b的取值范围为(-∞，0)∪(4，+∞).
(2)F(x)=x2-mx+1-m2，
Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.
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典型例题分析4：
若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)由f(0)=1，
得c=1.即f(x)=ax2+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x，
则a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x，
即2ax+a+b=2x，
所以2a=2且a+b=2.
解得a=1,b=-1.
因此，f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m，
即x2-3x+1-m>0，
要使此不等式在[-1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减，
∴g(x)min=g(1)=-m-1，
由-m-1>0得，m |
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发表于 2017-9-8 18:36:01