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高考数学线性规划问题难度不大,但为何很多人都错了?

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发表于 2017-9-19 17:38:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    什么是线性规划问题?
    定义目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,就统称为线性规划问题。
    线性规划的问题应用比较广泛,题目非常灵活,常和其他知识交叉融合让学生进行求解,所以对学生的学习能力是一次考验。因此,线性规划问题也成为高考数学一个热点和“分值增长点”。
    高考数学考查线性规划类问题,主要基于课本上的基础知识内容,同时又高于课本的知识难度,蕴含大量的数学思想方法,如数形结合思想等等。加上线性规划问题能与实际生活问题进行良好结合,能很好考查考生运用知识解决实际问题能力水平的高低,所以线性规划问题在高考中的分值越来越大,逐渐受到更多的重视。
    总体来说运用二元一次不等式相关知识来解决线性规划问题,难度不大,只要认真学习,都能拿到相应的分数。下面,我们就一起从高中数学中的线性规划问题入手,对高中数学中有关线性规划的问题做一个综合学习,针对其中的具体问题逐一做具体分析,总结学习方法,希望能帮助到打击的学习。
    首先要掌握好线性规划中相关的基本概念:
    1、约束条件:由变量x,y组成的不等式(组)
    2、线性约束条件:由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
    3、目标函数:关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等
    4、线性目标函数:关于x,y的一次解析式
    5、可行解:满足线性约束条件的解(x,y)
    6、可行域:所有可行解组成的集合
    7、最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解
    8、线性规划问题:在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
    典型例题分析1:
    某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是()
    A.1 800元  B.2 400元
    C.2 800元 D.3 100元
    解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,
    相应的利润为z元,

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    平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是2 800元.[答案] C
    线性规划本质上是解决最大值或最小值问题,而最值问题恰恰是现实生活当中遇到的问题,也就是我们常说的最优解问题。
    如果可行域是一个多边形,那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值,最优解就是该点的坐标,到底哪个顶点为最优解,只要将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是。
    特别地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时,其最优解可能有无数个。
    典型例题分析2:

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    解决线性规划问题,我们一定要抓住函数的本质,如求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义。
    常见的目标函数有:
    1、截距型:形如z=ax+by.
    求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-ax/b+z/b,通过求直线的截距bz的最值间接求出z的最值.
    2、距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2.
    (3)斜率型:形如z=(y-b)/(x-a).
    注意:转化的等价性及几何意义.
    同时,大家更要记住的是与线性规划有关的应用问题,通常涉及最优化问题.如用料最省、获利最大等,其解题步骤是:
    1、设未知数,确定线性约束条件及目标函数;
    2、转化为线性规划模型;
    3、解该线性规划问题,求出最优解;
    4、调整最优解.
    典型例题分析3:
    某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
    (1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);
    (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
    解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,
    所以利润W=5x+6y+3(100-x-y)
    =2x+3y+300.

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