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高考数学热点题型:函数y=sin(ωx+φ)的图象及应用

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发表于 2017-9-25 19:45:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
函数y=sin(ωx+φ)的应用在高考数学中出现的次数是非常频繁的,一般来说选择题、填空题和主观题都会出现函数y=sin(ωx+φ)的知识点,所以高三同学在复习中要大量练习这个知识点。高考数学知识点是比较多的,本篇文章整理的就是关于函数y=sin(ωx+φ)的图象及简单应用。
    高考函数知识内容比较多,高考函数热点问题一般集中在这四个板块:导数应用、与不等式综合、三角函数应用、函数模型应用。
    三角函数相关知识内容可以说是高考数学试题当中的比较常考知识内容,也一直是高考数学必会考查的知识点。三角函数的主要考点是:三角函数的概念和性质(单调性,周期性,奇偶性,最值),三角函数的图象,三角恒等变换(主要是求值),三角函数模型的应用,正余弦定理及其应用,平面向量的基本问题及其应用。
    在高考数学复习过程中,我们一定要加强对三角函数基础知识的巩固,突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质,以及化简、求值和最值等重点内容的复习,要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形,同时要注重三角知识的工具。.
    因此,今天我们就来三角函数应用中关于函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质。
    首先,我们要彻底掌握好y=Asin(ωx+φ)的相关的基本概念,y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时:
    振幅为A;
    周期为T=2π/ω;
    频率为f=1/T=ω/2π;
    相位为ωx+φ;
    初相为φ.
    典型例题分析1:
    已知函数y=Asin(ωx+φ)+n的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π/2,直线x=π/3是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,00,ω>0)的图象的作法,我们要掌握好以下两种常见的方法:
    1、五点法
    用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π/2,π,3π/2,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。
    2、图象变换法
    由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
    三角函数高考题型虽然不难,通常以简单题形式出现,但内容却比较丰富,如包含三角函数的图像与性质、三角函数恒等变化、诱导公式等等。因此,在复习过程中要特别注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质,以及化简、求值和最值等重点内容的复习,要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形,同时要注重三角知识的工具性。
    典型例题分析2:
    已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0,ω>0)的步骤和方法:
    1、求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=(M-m)/2,b=(M+m)/2.
    2、求ω,确定函数的周期T,则可得ω=T2π.
    3、求φ,常用的方法有:
    ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
    ②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下:
    “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=π/2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=3π/2;“第五点”时ωx+φ=2π。
    由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是|φ|/ω(ω>0)个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是于ωx加减多少值。
    在高考数学的客观题和主观题中,函数的分值占比是非常高的。函数一直是高考数学重点考查内容,也是高考数学的必考热点知识板块,所以同学们在平常的学习中要重视函数的学习。
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