高考论坛

 找回密码
 立即注册
查看: 13|回复: 0

高考数学:突破核心知识内容, 才能完全拿到立体几何的分数

[复制链接]

10万

主题

10万

帖子

31万

积分

论坛元老

Rank: 8Rank: 8

积分
312028
发表于 2017-10-8 19:19:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

2017100302571463718.png

2017100302571463718.png

    高考数学一直很注重对考生逻辑思维能力的考查,一方面是基于数学这门学科的特殊性,另一方面是高考数学具有选拔人才的功能,为高校输送优秀的人才。因此,在数学学习过程中,我们一定要加强逻辑思维能力的训练。
    如与立体几何相关的数学问题,一直是高考数学必考的热门题型,此类问题题型新颖、方法多样,能很好考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力等等数学基本能力。
    纵观近几年的高考数学立体几何问题,我们发现线面垂直、面面垂直是热门考点之一,重点考查到线线、线面、面面位置关系等基本知识概念。
    直线和平面关系不仅仅是学好立体几何的基础,也是历年高考数学的重点和热点,主要包括平面的基本性质、空间平行直线和异面直线、线面平行与面面平行和线面与面面垂直问题。
    因此,今天我们就来讲讲与直线、平面垂直的判定与性质相关的高考数学问题。
    那么,什么是直线与平面垂直?
    直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
    直线与平面垂直的判定定理:
    一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与平面垂直。
    直线与平面垂直的判定定理的推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面。
    直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
    典型例题分析1:
    已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是()
    A.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
    B.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
    C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
    D.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β
    解析:选C
    对于选项A,若m∥α,α∩β=n,则m∥n,或m,n是异面直线,所以A错误;
    对于选项B,n可能在平面α内,所以B错误;
    对于选项D,m与β的位置关系还可以是m⊂β,m∥β,或m与β斜交,所以D错误;
    由面面垂直的性质可知C正确.
    为了能更好解决直线与平面垂直相关的数学问题,我们掌握一些证明直线和平面垂直的常用方法有:
    1、利用判定定理;
    2、利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);
    3、利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
    4、利用面面垂直的性质;
    5、当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
    平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
    平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
    典型例题2:
    设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:
    ①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
    其中正确命题的个数为()
    A.1B.2
    C.3 D.4
    解析:选D
    对于①,由b不在平面α内知,直线b或者平行于平面α,或者与平面α相交,若直线b与平面α相交,则直线b与直线a不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛盾,因此①正确。
    对于②,由a∥α知,在平面α内必存在直线a1∥a,又a⊥β,所以有a1⊥β,所以α⊥β,②正确。
    对于③,若直线a与平面α相交于点A,过点A作平面α、β的交线的垂线m,则m⊥β,又α⊥β,则有a∥m,这与“直线a、m有公共点A”相矛盾,因此③正确。
    对于④,过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1,则有a∥a1,b∥b1,又a⊥b,所以a1⊥b1,所以α⊥β,因此④正确.综上所述,其中正确命题的个数为4。
    典型例题3:
    如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.
    (1)求三棱锥A-MCC1的体积;
    (2)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M⊥平面MAC.

2017100302572512018.png

2017100302572512018.png

    解:(1)由长方体ABCD-A1B1C1D1知,
    AD⊥平面CDD1C1,
    ∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1.
    又S△MCC1=1/2CC1×CD=1/2×2×1=1,
    ∴VA-MCC1=1/3AD·S△MCC1=1/3.
    (2)证明:将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开,与侧面ADD1A1共面(如图),当A1,M,C′共线时,A1M+MC取得最小值.

2017100302573156318.png

2017100302573156318.png

    ∴CC12=MC12+MC2,得∠CMC1=90°,
    即CM⊥MC1.
    又由长方体ABCD-A1B1C1D1知,B1C1⊥平面CDD1C1,
    ∴B1C1⊥CM.
    又B1C1∩C1M=C1,
    ∴CM⊥平面B1C1M,得CM⊥B1M.
    同理可证,B1M⊥AM.
    又AM∩MC=M,
    ∴B1M⊥平面MAC.
    垂直关系的证明就是学会熟练运用相关的性质定理和判定定理,将各种垂直关系不断进行转化。在解决实际问题的过程中,我们可以先从题目条件入手,明确已有的垂直关系,再从结论分析待证的垂直条件,从而建立起已知与未知之间的关系。
    要记住一些判定面面垂直的方法:
    1、面面垂直的定义;
    2、面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)。
    在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,转化为线面垂直或线线垂直。
    转化方法:在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。
    在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即:

2017100302573721618.png

2017100302573721618.png

    在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决,如有平面垂直时,一般要用性质定理.
    记住几个常用的结论:
    (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
    (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
    典型例题分析4:
    如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
    求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
    (2)直线A1F∥平面ADE.

2017100302574254118.png

2017100302574254118.png

    解:(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,
    又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.
    又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,
    CC1∩DE=E,
    所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,
    所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
    (2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
    所以A1F⊥B1C1.
    因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,
    所以CC1⊥A1F.
    又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
    所以A1F⊥平面BCC1B1.
    由(1)知AD⊥平面BCC1B1,
    所以A1F∥AD.
    又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
    所以A1F∥平面ADE.
    垂直关系证明蕴含着丰富的数学思想方法,如转化思想方法,即由线线垂直得线面垂直(线面垂直的判定定理),由线面垂直得面面垂直(面面垂直的判定定理),而由面面垂直得线面垂直(面面垂直的性质定理),由线面垂直得线线垂直(线面垂直的定义)。
    要想拿到立体几何的分数,那么平时一定要加强再基础知识、基本技能训练,尤其对定义、定理的由来和结论的形成加强学习,这样才能从根本理解数学概念、定理、性质等等。如要非常透彻去理解线面垂直的定义,掌握线面垂直的判定定理和性质定理,掌握面面垂直的判定定理和性质定理。学会运用公理、定理和已获得的结论,证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题。
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|新都网 ( 京ICP备09058993号

GMT+8, 2017-10-24 06:44 , Processed in 0.064257 second(s), 11 queries , Wincache On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2001-2013 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表