2011年全国统一高考考试大纲——数学（理）

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　　（必修+选修Ⅱ）
　　Ⅰ．考试性质
　　普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试，高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体、全面衡量，择优录取，因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．
　　Ⅱ．考试要求
　　《2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》中的数学科部分，根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据国家教育部2002年颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》的必修课与选修Ⅱ的教学内容，作为理工农医类高考数学科试题的命题范围。
　　数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养．
　　数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能．
　　一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求
　　1．知识要求
　　知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法．
　　对知识的要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次．
　　（1）了解：要求对所列知识的含义及其背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能（或会）在有关的问题中识别它．
　　（2）理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题．
　　（3）灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．
　　2．能力要求
　　能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识．
　　（1）思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述．
　　数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心．数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符合表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体．
　　（2）运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．
　　运算能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能．
　　（3）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．
　　空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察、研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符合语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．
　　（4）实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明．
　　实践能力是将客观事物数学化的能力．主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决．
　　（5）创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．
　　创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强．
　　3．个性品质要求
　　个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观．要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义．
　　要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神．
　　二、考查要求
　　数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、疏理、综合，构建数学试卷的结构框架．
　　（1）对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度．
　　（2）对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识想结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科的整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
　　（3）对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料．侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．
　　对能力的考查，以思想能力为核心，全民考查各种能力，强调综合性、应用性，并切合考生实际．对思维能力的考查贯穿于全卷，重点体现对理性思维的考查，强调思维的科学性、严谨性、抽象性．对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算．对空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言三种语言的互相转化，表现为对图形的识别、理解和加工，考查时要与运算能力、逻辑思维能力想结合．
　　（4）对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式．命题时要坚持“贴进生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合我国中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平．
　　（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查．在考试中创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性．精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题．
　　数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求．
　　Ⅲ．考试内容
　　1．平面向量
　　考试内容：
　　向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离．平移．
　　考试要求：
　　（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
　　（2）掌握向量的加法和减法．
　　（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
　　（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
　　（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
　　（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．

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　　2．集合、简易逻辑
　　考试内容：
　　集合．子集．补集．交集．并集．
　　逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
　　考试要求：
　　（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
　　（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
　　3．函数
　　考试内容：
　　映射．函数．函数的单调性、奇偶性．
　　反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
　　指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
　　对数．对数的运算性质．对数函数．
　　函数的应用．
　　考试要求：
　　（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
　　（2）了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
　　（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
　　（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．
　　（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
　　（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
　　4．不等式
　　考试内容：
　　不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
　　考试要求：
　　（1）理解不等式的性质及其证明．
　　（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
　　（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
　　（4）掌握简单不等式的解法．
　　（5）理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．
　　5．三角函数
　　考试内容：
　　角的概念的推广．弧度制．
　　任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1．正弦、余弦的诱导公式．
　　两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
　　正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
　　正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
　　考试要求：
　　（1）了解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．
　　（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．
　　（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
　　（4）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
　　（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．
　　（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx表示．
　　（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
　　6．数列
　　考试内容：
　　数列．
　　等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
　　等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
　　考试要求：
　　（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
　　（2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．
　　（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
　　7．直线和圆的方程
　　考试内容：
　　直线的倾斜角与斜率．直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
　　两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
　　用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
　　曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
　　圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
　　考试要求：
　　（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
　　（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
　　（3）了解二元一次不等式表示平面区域．
　　（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
　　（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
　　（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
　　8．圆锥曲线方程
　　考试内容：
　　椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
　　双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
　　抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
　　考试要求：
　　（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
　　（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
　　（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
　　（4）了解圆锥曲线的初步应用．
　　9（A）．直线、平面、简单几何体（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）
　　考试内容：
　　平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
　　平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
　　直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
　　平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．
　　多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
　　考试要求：
　　（1）理解平面的基本性质，会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形．能够根据图形想象它们的位置关系．
　　（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
　　（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念．掌握三垂线定理及其逆定理．
　　（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
　　（5）会用反证法证明简单的问题．
　　（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
　　（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
　　（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
　　（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式．
　　9（B）．直线、平面、简单几何体
　　考试内容：
　　平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
　　平行直线．
　　直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
　　两个平面的位置关系．
　　空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
　　直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
　　直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
　　平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
　　多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．

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　　考试要求：
　　（1）理解平面的基本性质。会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．
　　（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理．掌握三垂线定理及其逆定理．
　　（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
　　（4）了解空间向量的基本定理．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算．
　　（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
　　（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
　　（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．掌握直线和平面垂直的性质定理．掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
　　（8）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
　　（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
　　（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
　　（11）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式．
　　10．排列、组合、二项式定理
　　考试内容：
　　分类计数原理与分步计数原理．
　　排列．排列数公式．
　　组合．组合数公式．组合数的两个性质．
　　二项式定理．二项展开式的性质．
　　考试要求：
　　（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
　　（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
　　（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．
　　（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
　　11．概率
　　考试内容：
　　随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．
　　考试要求：
　　（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
　　（2）了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．
　　（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
　　（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
　　12．概率与统计
　　考试内容：
　　离散型随机变量的分布列．离散型随机变量的期望值和方差．
　　抽样方法：总体分布的估计．正态分布．线性回归．
　　考试要求：
　　（1）了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．
　　（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差．
　　（3）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．
　　（4）会用样本频率分布去估计总体分布．
　　（5）了解正态分布的意义及主要性质．
　　（6）了解线性回归的方法和简单应用．
　　13．极限
　　考试内容：
　　数学归纳法．数学归纳法的应用．
　　数列的极限．
　　函数的极限．极限的四则运算．函数的连续性．
　　考试要求：
　　（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
　　（2）了解数列极限和函数极限的概念．
　　（3）掌握极限的四则运算法则．会求某些数列与函数的极限．
　　（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
　　14．导数
　　考试内容：
　　导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数．
　　两个函数的和、差、积、商的导数．复合函数的导数．基本导数公式．
　　利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
　　考试要求：
　　（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
　　（2）熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
　　（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
　　15．数系的扩充——复数
　　考试内容：
　　复数的概念．
　　复数的加法和减法．
　　复数的乘法和除法．
　　数系的扩充．
　　考试要求：
　　（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
　　（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
　　（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
　　Ⅳ．考试表式与试卷结构
　　考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．
　　全试卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷．Ⅰ卷为选择题；Ⅱ卷为非选择题．
　　试卷一般包括选择题、填空题和解答题等题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
　　试卷应由容易题、中等难度题和难题组成，总体难度要适当，并以中等难度题为主.