2011年暑假必备宝典之高一数学知识点总结

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　　高中高一数学必修1各章知识点总结
　　第一章集合与函数概念
　　一、集合有关概念
　　1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
　　2、集合的中元素的三个特性：
　　1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
　　说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
　　(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
　　(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
　　(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
　　3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
　　1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
　　2．集合的表示方法：列举法与描述法。
　　注意啊：常用数集及其记法：
　　非负整数集（即自然数集）记作：N
　　正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
　　关于“属于”的概念
　　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A
　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
　　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
　　②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
　　4、集合的分类：
　　1．有限集含有有限个元素的集合
　　2．无限集含有无限个元素的集合
　　3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
　　二、集合间的基本关系
　　1.“包含”关系—子集
　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
　　2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
　　①任何一个集合是它本身的子集。AíA
　　②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
　　③如果AíB,BíC,那么AíC
　　④如果AíB同时BíA那么A=B
　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

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　　三、集合的运算
　　1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
　　记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
　　3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
　　A∪φ=A,A∪B=B∪A.
　　4、全集与补集
　　（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
　　记作：CSA即CSA={x|x?S且x?A}
　　S
　　CsA
　　A
　　（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
　　（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
　　二、函数的有关概念
　　1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
　　注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
　　定义域补充
　　能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
　　(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
　　构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
　　再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
　　(见课本21页相关例2)
　　值域补充
　　(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
　　3.函数图象知识归纳
　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．
　　C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
　　图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
　　(2)画法
　　A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
　　B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
　　常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
　　(3)作用：
　　1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
　　发现解题中的错误。
　　4．快去了解区间的概念
　　（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

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　　5．什么叫做映射
　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”
　　给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
　　说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
　　常用的函数表示法及各自的优点：
　　1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
　　注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
　　补充一：分段函数（参见课本P24-25）
　　在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
　　补充二：复合函数
　　如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。
　　例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)
　　7．函数单调性
　　（1）．增函数
　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
　　注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
　　2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1
　　（2）图象的特点
　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
　　(3).函数单调区间与单调性的判定方法
　　(A)定义法：
　　1任取x1，x2∈D，且x1
　　(B)图象法(从图象上看升降)_
　　(C)复合函数的单调性
　　复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
　　函数
　　单调性
　　u=g(x)
　　增
　　增
　　减
　　减
　　y=f(u)
　　增
　　减
　　增
　　减
　　y=f[g(x)]
　　增
　　减
　　减
　　增
　　注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

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　　8．函数的奇偶性
　　（1）偶函数
　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
　　（2）．奇函数
　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
　　注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
　　2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
　　（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
　　偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
　　总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f(－x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．
　　注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.
　　9、函数的解析表达式
　　（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
　　（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
　　10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
　　1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
　　第二章基本初等函数
　　一、指数函数
　　（一）指数与指数幂的运算
　　1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈*．
　　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）．
　　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
　　注意：当是奇数时，，当是偶数时，
　　2．分数指数幂
　　正数的分数指数幂的意义，规定：
　　，
　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
　　3．实数指数幂的运算性质
　　（1）?；
　　（2）；
　　（3）．
　　（二）指数函数及其性质
　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R．
　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

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　　2、指数函数的图象和性质
　　a>1
　　0
　　图象特征
　　函数性质
　　向x、y轴正负方向无限延伸
　　函数的定义域为R
　　图象关于原点和y轴不对称
　　非奇非偶函数
　　函数图象都在x轴上方
　　函数的值域为R+
　　函数图象都过定点（0，1）
　　自左向右看，
　　图象逐渐上升
　　自左向右看，
　　图象逐渐下降
　　增函数
　　减函数
　　在第一象限内的图象纵坐标都大于1
　　在第一象限内的图象纵坐标都小于1
　　在第二象限内的图象纵坐标都小于1
　　在第二象限内的图象纵坐标都大于1
　　图象上升趋势是越来越陡
　　图象上升趋势是越来越缓
　　函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
　　函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
　　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
　　（1）在[a，b]上，值域是或；
　　（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
　　（3）对于指数函数，总有；
　　（4）当时，若，则；
　　二、对数函数
　　（一）对数
　　1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）
　　说明：1注意底数的限制，且；
　　2；
　　3注意对数的书写格式．
　　两个重要对数：
　　1常用对数：以10为底的对数；
　　2自然对数：以无理数为底的对数的对数．
　　对数式与指数式的互化
　　对数式指数式
　　对数底数←→幂底数
　　对数←→指数
　　真数←→幂
　　（二）对数的运算性质
　　如果，且，，，那么：
　　1?＋；
　　2－；
　　3．
　　注意：换底公式
　　（，且；，且；）．
　　利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．

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　　（二）对数函数
　　1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
　　注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
　　如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
　　2对数函数对底数的限制：，且．
　　2、对数函数的性质：
　　a>1
　　0
　　图象特征
　　函数性质
　　函数图象都在y轴右侧
　　函数的定义域为（0，＋∞）
　　图象关于原点和y轴不对称
　　非奇非偶函数
　　向y轴正负方向无限延伸
　　函数的值域为R
　　函数图象都过定点（1，0）
　　自左向右看，
　　图象逐渐上升
　　自左向右看，
　　图象逐渐下降
　　增函数
　　减函数
　　第一象限的图象纵坐标都大于0
　　第一象限的图象纵坐标都大于0
　　第二象限的图象纵坐标都小于0
　　第二象限的图象纵坐标都小于0
　　（三）幂函数
　　1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
　　2、幂函数性质归纳．
　　（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
　　（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
　　（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
　　第三章函数的应用
　　一、方程的根与函数的零点
　　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
　　方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
　　3、函数零点的求法：
　　求函数的零点：
　　1（代数法）求方程的实数根；
　　2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
　　4、二次函数的零点：
　　二次函数．
　　1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
　　2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
　　3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．