高三数学知识点：几何专题指导

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　　天津市第四十二中学 张鼎言
        　　2. 如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3，0)，右准线l的方程为x=12。
        　　(Ⅰ)求椭圆的方程;
        　　(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P1、P2、P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：-+-+-为定值，并求此定值。
        　　解：(1)-=12，c=3，a2=36，b2=27，
        　　∴-+-=1
        　　分析：(2)本问给出的是“角”，这就需要“转化”，用“角”的三角函数表示距离。
        　　设|FP1|与x轴正方向夹角为α，0α
        　　P1到l的距离应为：
        　　--c-|FP1|cosα
        　　∴由椭圆第二定义
        　　|FP1|=e(--c-|FP1|cosα)
        　　这里e=-|FP1|
        　　=-(9-|FP1|cosα)
        　　∴-=-(2+cosα)
        　　同理-=-[2+cos(α+-)]
        　　-=-[2+cos(α+-)]
        　　∴-+-+-=-[6+cosα+cos(α+-)+cos(α+-)]
        　　而cosα+cos(α+-)+cos(α+-)=0
        　　∴-+-+-=-
        　　注：本题(2)是在椭圆第二定义基础上的变化，这种变化是以直角三角函数的综合来呈现，但问题的关键是推导目标需要求出|FPi|，i=1，2，3。
        　　3. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且-=λ-(λ0)。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
        　　(Ⅰ)证明-■为定值;
        　　(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值。
        　　解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ0。
        　　设A(x1，-x12)，B(x2，-x22)。由-=λ-，λ0。
        　　-
        　　-
        　　-
        　　过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
        　　-
        　　解出交点M的坐标为(-，-)，M(-，-1)
        　　-■=-(x22-x12)-2(-x22--x12)=0
        　　所以-■为定值，其值为0，|-|⊥|-|。
        　　(Ⅱ)由抛物线的定义：
        　　|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+-+2=(-+-)2
        　　|FM|⊥|AB|，S=-|AB||FM|.
        　　|FM|=-
        　　=-
        　　=-
        　　=-
        　　=-+-
        　　S=-|AB||FM|=-(-+-)34，
        　　当且仅当-=-，λ=1时，S取得最小值4。
        　　4. 已知椭圆C1：-+-=1，抛物线C2：(y-m)2=2px(p0)，且C1，C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。
        　　(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求m，p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
        　　(Ⅱ)是否存在m，?求出符合条件的m，p的值;若不存在，请说明理由。
        　　解：(Ⅰ)C1的右焦点F2(1，0)，当AB⊥x轴时，
        　　由C1方程A(1，-)，又A、B关于x轴对称，
        　　所以m=0，A(1，-)在C2上，可知C2的焦点(-，0)不在直线AB上。
        　　(Ⅱ)解法一：LAB -=k
        　　设A(x1，y1)、B(x2，y2)在C1上，
        　　由-
        　　(1)-(2)：-+-k=0 (A)
        　　上面的方法给我们一个重要的启示，LAB与C1相交时不是用联立方程组化为一元二次方程，求出△，x1+x2，x1x2等过渡量。理由是后面的推导不需要x1x2。