高三数学知识点：几何专题热点

高考网

　　天津市第四十二中学 张鼎言
        　　5. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有( )
        　　A. |FP1|+|FP2|=|FP3|
        　　B. |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
        　　C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3|
        　　D. |FP2|2=|FP1||FP3|
        　　分析∵P1、P2、P3在抛物线上，
        　　∴由抛物线定义
        　　|PF1|=x1-(--)
        　　=x1+-
        　　|PF2|=x2+-
        　　|PF3|=x3+-
        　　又2x2=x1+x3
        　　2(x2+-)=(x1+-)+(x3+-)
        　　∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|
        　　选C
        　　6. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( )
        　　(A)3 (B)4
        　　(C)3- (D)4-
        　　解：A(x1，y1)，与B(x2，y2)关于直线x+y=0对称，又A、B在抛物线上，
        　　-
        　　(2)-(1)：y1+x1=-x12+y12=(y1+x1)(y1-x1)
        　　∵点A不在直线x+y=0上
        　　∴x1+y1≠0，y1-x1=1，y1=x1+1代入(1)
        　　-
        　　A(-2，-1)，B(1，2)反之亦然
        　　∴|AB|=3-，选C
        　　7. 双曲线C1：---=1(a0，b0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2;抛物线C2的准线为l，焦点为F2;C1与C2的一个交点为M，则---等于( )
        　　A. -1 B. 1
        　　C. -- D. -
        　　解：|F1F2|=2c，设|MF1|=x，|MF2|=y
        　　由M在双曲线C1上，x-y=2a
        　　M在抛物线C2上，|MN|= |MF2|=y
        　　又M在C1上，由双曲线第二定义-=-=-
        　　-
        　　---
        　　=---=-1 选A
        　　注：本题把双曲线定义、第二定义与抛物线定义连结在一起，这里M在C1、C2上是突破口，所以几何图形上的公共点是知识点的交叉点，是设计问题的重要根源.
        　　(三) 直线与圆锥曲线相切
        　　复习导引：学习了导数，求圆锥曲线的切线多了一条重要途径，归结起来求切线可用判别式△=0或求导.
        　　1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q，(1)若-■=2，求c的值;
        　　(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线;
        　　(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。
        　　解：(1)-
        　　设A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)
        　　△=k2+4c0
        　　x1+x2=k，x1x2=-c，y1y2=(x1x2)2 =c2
        　　-■=x1x2+(x1x2)2=c2-c=2→c=2，c=-1(舍去)
        　　解(2)线段AB中点P(xp，yp)
        　　xp=-，yp=-
        　　∴xp=-，Q(-，-c)
        　　kAQ=-
        　　=-=2x1
        　　又过A点的切线斜率
        　　k=y'-=2x1
        　　∴AQ是此抛物线在A点的切线。
        　　解(3)过A点的切线：y-y1=2x1(x-x1)
        　　y-x12=2x1(x-x1)
        　　化简 y=2x1x-x12
        　　Q(-，-c)是否满足方程。
        　　y=2x1■-x12=x1x2=-c
        　　∴过A点的切线过Q点
        　　∴逆命题成立