高三数学知识点：三角函数专题热点

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　　天津市第四十二中学 张鼎言
        　　6. 已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx
        　　(Ⅰ)求f(-)的值;
        　　(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。
        　　解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--
        　　=sin(2x+-)--
        　　f(-)=sin---=0
        　　解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--
        　　=---，
        　　∴sin(α+-)=-
        　　-sinα+-cosα=-
        　　sinα+-cosα=-
        　　-cosα=--sinα
        　　两边平方整理关于sinα的二次方程：
        　　16sin2α-4sinα-11=0
        　　∵α∈(0，π)
        　　∴sinα=-
        　　注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。
        　　(二)三角函数的图象与性质
        　　复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。
        　　1. 设函数f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。
        　　(Ⅰ)求ω的值;
        　　(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。
        　　解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α
        　　=--+-sin2ωx+α
        　　=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-
        　　=sin(2ωx+-)+α+-
        　　2ω■+-=-，ω=-
        　　(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-
        　　--≤x≤-
        　　0≤x+-≤-
        　　fmin(x)=f(-)=--+α+-=-
        　　∴α=-+-
        　　2. 如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。
        　　(Ⅰ)求φ的值;
        　　(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。
        　　解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-
        　　0≤φ≤- ∴φ=-
        　　(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)
        　　∵P为最高点
        　　∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)
        　　f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-
        　　cos2α=-=-
        　　∴-与-的夹角是arccos-
        　　3. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A0，ω0，0
        　　(1)求φ;
        　　(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。
        　　解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)
        　　fmax(x)=--(--)=2 ∴A=2
        　　由已知，T=4=-，ω=-
        　　f(x)=1-cos(-x+2φ)
        　　f(1)=1-cos(-+2φ)=2
        　　∴sin2φ=1 0
        　　∴φ=-
        　　∴f(x)=sin(-x)+1
        　　(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2
        　　f(2)=sinπ+1=1
        　　f(3)=sin-+1=0
        　　f(4)=sin2π+1=1
        　　又f(n)是以4为周期的函数
        　　-=502
        　　∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008
        　　4. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π
        　　(Ⅰ)求φ;
        　　(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;
        　　(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。
        　　解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴，
        　　∴sin(2×■+φ)=±1.
        　　∴sin(-+φ)=±1，-π
        　　∴-+φ=--，φ=--
        　　∴f(x)=sin(2x--)
        　　解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间
        　　2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z
        　　kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z
        　　证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-
        　　f(x)=sin(2x--)
        　　k'=f'(x)=2cos(2x--)
        　　|k'|≤2
        　　∵k≠|k'| ∴不能相切
        　　注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。