高考数学解题思想：特殊与一般的思想

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        　　高考数学复习是有规律有内部联系的复习过程，在所有题型中一直串联着数学思想在里面，而不是单独的进行题海战术，做会一道题，完全掌握解题思维好于单独做100道题。
        　　新东方网高考频道整理高考数学蕴含的六大数学思想，大题无外乎就这几类，吃透规律事半功倍。
        　　高考数学解题思想：特殊与一般的思想
        　　由特殊到一般,再由一般到特殊，这种反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这就是我们常说的特殊与一般的数学思想。用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。
        　　例10 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )。
        　　A.y=[■]
        　　B.y=[■]
        　　C.y=[■]
        　　D.y=[■]
        　　分析：将班级人数用具体数据替代，即可得出正确结论。
        　　解：当班级人数x=36时，可推选代表人数y=3，排除CD;当班级人数x=37时，可推选代表人数y=4，排除A;选B。
        　　例11 设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量■=(mx,y+1),向量■=(x,y-1),■⊥■,动点M(x,y)的轨迹为E。
        　　(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知m=■,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程。
        　　分析:(1)不难求得轨迹E的方程为mx2+y2=1。(讨论略)
        　　(2)问题的关键是确定一个圆心在原点的圆，即求出圆的半径R，使得该圆的任意一条切线与曲线E交于A,B，且OA⊥OB，如何求出圆的半径呢?从特殊位置入手是处理这类问题的有效方法。
        　　解：(2)当m=■时，曲线E的方程为x2+4y2=4，取切线l:x=R，
        　　由x=Rx2+4y2=4?圳x=Ry=±■，所以A(R,■)，B(R,-■)
        　　又OA⊥OB，所以■·■=0?圳R2=■。下面只要证明圆x2+y2=■的任意一条切线都与椭圆相交于不同两点，且OA⊥OB。
        　　(i)当圆x2+y2=■的一条切线的斜率存在时，可设其方程为y=kx+t,则■=■?圳t■=■(k■+1)，由方程组y=kx+tx2+4y2=4得x2+4(kx+t)2=4,即,(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0
        　　则Δ=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2+1)=■(16k2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
        　　则x1x2+y1y1=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(1+k2)·■+kt·■+t2=■=0，所以OA⊥OB;
        　　(ii)当切线的斜率不存在时,切线为x=±■■,与■+y2=1交于点(■■,±■■)或(-■■,±■■)也满足OA⊥OB。
        　　综上,存在圆心在原点的圆x■2+y2=■，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且■⊥■。
       

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