高考数学知识点总结：平面向量公式

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　　定比分点
        　　定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
        　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
        　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
        　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
        　　x=(x1+λx2)/(1+λ),
        　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
        　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
        　　三点共线定理
        　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
        　　三角形重心判断式
        　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
        　　[编辑本段]向量共线的重要条件
        　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
        　　a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
        　　零向量0平行于任何向量。
        　　[编辑本段]向量垂直的充要条件
        　　a⊥b的充要条件是 a•b=0。
        　　a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
        　　零向量0垂直于任何向量.
        　　设a=(x，y)，b=(x'，y')。
        　　1、向量的加法
        　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
        　　AB+BC=AC。
        　　a+b=(x+x'，y+y')。
        　　a+0=0+a=a。
        　　向量加法的运算律：
        　　交换律：a+b=b+a;
        　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
        　　2、向量的减法
        　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
        　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
        　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

gksix

        　　4、数乘向量
        　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
        　　当λ>0时，λa与a同方向;
        　　当λ
        　　当λ=0时，λa=0，方向任意。
        　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
        　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
        　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
        　　当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ
        　　当∣λ∣0)或反方向(λ
        　　数与向量的乘法满足下面的运算律
        　　结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
        　　向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
        　　数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
        　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
        　　3、向量的的数量积
        　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
        　　定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
        　　向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
        　　向量的数量积的运算律
        　　a•b=b•a(交换律);
        　　(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
        　　(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
        　　向量的数量积的性质
        　　a•a=|a|的平方。
        　　a⊥b 〈=〉a•b=0。
        　　|a•b|≤|a|•|b|。
        　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
        　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
        　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
        　　3、|a•b|≠|a|•|b|
        　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

gkone

        　　4、向量的向量积
        　　定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
        　　向量的向量积性质：
        　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
        　　a×a=0。
        　　a‖b〈=〉a×b=0。
        　　向量的向量积运算律
        　　a×b=-b×a;
        　　(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
        　　(a+b)×c=a×c+b×c.
        　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
        　　向量的三角形不等式
        　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
        　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
        　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
        　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
        　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
        　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

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