高三物理模拟练习：“速度对位移来是均匀变化的运动”

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　　伽利略提出问题
        　　在伽利略对自由落体运动的研究中，他首先面临的困难是概念上的，因为那时人们连速度的明确定义都没有。因此。对伽利略来说，必须首先建立描述运动所需的概念，诸如平均速度、瞬时速度及加速度等，就是伽利略首先建立起来的。
        　　伽利略相信，自然界是简单的，自然界的规律也是简单的。他从这个信念出发，猜想落体也一定是一种最简单的变速运动，而最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的。
        　　但是，速度的变化怎样才算“均匀”呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即与成正比，例如，每过1，速度的变化量都是；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即与成正比，例如，每下落1，速度的变化量都是。
        　　后来发现，如果与成正比，将会推导出十分复杂的结论。所以，伽利略开始以实验来检验与成正比的猜想是否是真实的。【人民教育出版社课程标准教科书《物理》（必修1第48-49页，引者注）】
        　　在这里，伽利略解决了一个问题：速度的变化对时间来说是均匀的匀变速直线运动，也就是我们熟悉的匀变速直线运动，得到了加速度的概念和著名的运动学公式：，，以及推导公式，对自由落体运动，则，，三公式变为：，，，通常用来求时间和速度：，。
        　　同时还提出一个问题：速度的变化对位移来说是均匀的匀变速直线运动，这种匀变速直线运动存在吗？它有什么规律？伽利略把这个问题留给后人。
        　　
        　　牛顿解决问题
        　　牛顿对此问题有所解决。
        　　牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写下如下的命题：如果一个物体受到的阻力与其速度成正比，则阻力使它损失的运动正比于它在运动中所掠过的距离。【《自然哲学的数学原理》第二编第1章第155页。引者註】
        　　我试把这段话“翻译”成物理语言，损失的“运动”理解为损失的速度，命题可表述为：
        　　条件：一个物体受到的阻力与其速度成正比：
        　　结论：阻力使它损失的运动（速度）正比于它在运动中所掠过的距离：
        　　证明：因为一个物体受到的阻力与其速度成正比：，所以加速度，如果速度是变量，取很短的时间，速度的变化：，
        　　物体掠过的距离
        　　所以速度的变化正比于掠过的距离：，其中
        　　通过加以复合知，整个时间中损失的运动正比于掠过的距离：，
        　　证毕。
        　　这就是速度随位移均匀变化的匀变速直线运动。
        　　对于速度随位移均匀变化的匀变速直线运动，它的加速度应该这样定义：在单位位移上速度的变化（物理意义是：速度随位移变化的“快慢”），这样就有：
        　　
        　　, 加速度的单位应该是，
        　　表示由于正比于速度的力作用而引起的速度的变化，其中，而。
        　　如果末速度为0，则根据，即初速度。
        　　或者初速度为0，末速度为。
        　　据此，可以画出速度随位移变化的图象，即图象，如下图
       

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        　　图中，1表示初速度为0的速度随位移均匀变化的匀加速直线运动，2表示初速度为的速度随位移变化的匀加速直线运动，3表示末速度为0的速度随位移变化的匀减速直线运动，三个图线的加速度都是直线的斜率，即，或者。
        　　可惜，后人没有对牛顿的这个命题以足够的重视，否则，就应该有“牛顿第四定律”了。我认为，不妨来一个牛顿第四定律，加进《物理》教科书中。
        　　那么，这种“速度对位移来说是均匀变化的运动”在高考试题中有没有呢？答案是肯定的。请看以下例题。
        　　
        　　例1．2009年高考上海物理卷第24题（14分）
        　　【题目】如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F＝0.5v＋0.4（N）（v为金属棒运动速度）的水平力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。（已知l＝1m，m＝1kg，R＝0.3W，r＝0.2W，s＝1m）
       

112ZHJ9-1.jpg

        　　（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；
        　　（2）求磁感应强度B的大小；
        　　（3）若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足v＝v0－x，且棒在运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
        　　（4）若在棒未出磁场区域时撤去外力，画出棒在整个运动过程中速度随位移的变化所对应的各种可能的图线。
        　　【解析】（1）金属棒做匀加速运动，R两端电压U?I?e?v，U随时间均匀增大，即v随时间均匀增大，加速度为恒量。
        　　（2）F－＝ma，以F＝0.5v＋0.4代入得（0.5－）v＋0.4＝a，a与v无关，所以a＝0.4m/s2，（0.5－）＝0，得B＝0.5T。
        　　（3）x1＝at2，v0＝x2＝at，x1＋x2＝s，所以at2＋at＝s，得：0.2t2＋0.8t－1＝0，t＝1s，
        　　（4）可能图线如下：
        　　【探究】本题包括两种匀变速运动，第一种是在外力F＝0.5v＋0.4（N）和安培力的共同作用下，合外力为恒力，导体棒做速度随时间均匀变化的运动，第二种是在撤去外力后，导体棒只在安培力作用下的运动，由于安培力=，是与速度成正比的力，所以导体棒做速度随位移均匀变化的运动，即v＝v0－x=。
        　　从图象看，速度随时间均匀变化的运动，其图象是直线，而图象是曲线，因为，如上图中的前一段曲线；速度随位移均匀变化的运动，因为v＝，所以其图象是直线，如上图中的后一段直线。
        　　
        　　例2.2009年高考江苏省物理卷第15题(16分)
        　　【题目】如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为。条形匀强磁场的宽度为，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置。总质量为，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为（），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为。求：
        　　（1） 装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
        　　（2） 线框第一次穿越磁场区域所需的时间；
        　　（3） 经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离。
       

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        　　【解答】（命题者提供的解答）
        　　（1） 设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W
        　　由动能定理,且
        　　解得
        　　（2） 设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动
        　　由动能定理
        　　装置在磁场中运动的合力
        　　感应电动势
        　　感应电流
        　　安培力
        　　由牛顿第二定律，在到时间内，有
        　　则=
        　　有
        　　解得
        　　（3） 经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离之间往复运动，由动能定理
        　　解得。
        　　【解析】（本文研究的另外解法）
        　　第（1）问，同原解答
        　　第（2）问：设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动，速度变为0，根据动能定理
        　　，所以
        　　注意：导体棒在磁场中运动的位移是，而不是，且因为是恒流，所以安培力是恒力。
        　　因为线框在磁场中运动时受到的合力，而是与速度成正比的力，所以把线框在磁场中的运动分解为在重力的分力作用下的速度随时间均匀变化的匀变速直线运动和在安培力作用下的速度随位移均匀变化的匀变速直线运动两种运动，前者速度的变化与时间成正比，后者速度的变化与位移成正比，有
        　　注意：因为线框下边进磁场和上边出磁场，掠过的距离共。
        　　所以=
        　　第（3）问，同原解答，不重复。
        　　【探究】本题运用的是运动的分解的解题方法，同一个运动，因为受两种力，一个是重力，一个是安培力，重力是恒力（对时间），在重力作用下物体做速度随时间均匀变化的匀变速直线运动；安培力对时间来说是变力，但对位移来说是恒力，所以在安培力作用下物体做速度随位移均匀变化的匀变速直线运动，线框在磁场中的运动是这两个不同的“匀变速运动”的合运动。在公式，是在重力作用下的加速度，是在安培力作用下的加速度，前者加速度的定义是，单位是；后者加速度的定义是，单位是；通过对比，我们进一步理解了两种不同的“匀变速运动”，比较表如下：
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